Question

【題目】已知點O為坐標原點，橢圓C：（a＞b＞0）的左、右焦點分別為F1，F2，離心率為，點I，J分別是橢圓C的右頂點、上頂點，△IOJ的邊IJ上的中線長為．

（1）求橢圓C的標準方程；

（2）過點H（－2，0）的直線交橢圓C于A，B兩點，若AF1⊥BF1，求直線AB的方程．

Answer 1

【答案】（1）（2）x－2y＋2＝0或x＋2y＋2＝0

【解析】

(1)由直角三角形中線性質得到，再根據條件得到求解即可；（2）設出直線AB，聯立直線和橢圓得到二次方程，由AF1⊥BF1，得到，整理得（1＋2k2）（x1＋x2）＋（1＋k2）x1x2＋1＋4k2＝0，代入韋達定理即可.

（1）由題意得△IOJ為直角三角形，且其斜邊上的中線長為，所以．

設橢圓C的半焦距為c，則

解得

所以橢圓C的標準方程為．

（2）由題知，點F1的坐標為（－1，0），顯然直線AB的斜率存在，

設直線AB的方程為y＝k（x＋2）（k≠0），點A（x1，y1），B（x2，y2）．

聯立消去y，得（1＋2k2）x2＋8k2x＋8k2－2＝0，

所以Δ＝（8k2）2－4（1＋2k2）（8k2－2）＝8（1－2k2）＞0，所以．（*）

且，．

因為AF1⊥BF1，所以，

則（－1－x1，－y1）·（－1－x2，－y2）＝0，

1＋x1＋x2＋x1x2＋y1y2＝0，

1＋x1＋x2＋x1x2＋k（x1＋2）·k（x2＋2）＝0，

整理，得（1＋2k2）（x1＋x2）＋（1＋k2）x1x2＋1＋4k2＝0．

即．

化簡得4k2－1＝0，解得．

因為都滿足（*）式，所以直線AB的方程為或．

即直線AB的方程為x－2y＋2＝0或x＋2y＋2＝0．