Question

(12分) 若二次函數f(x)=ax²+bx+c(a≠0)的圖象關于y軸對稱，
且f(-2)＞f(3)，設m＞-n＞0.
(1) 試證明函數f(x)在(0，+∞)上是減函數；
(2) 試比較f(m)和f(n)的大小，并說明理由.

Answer 1

（1）見解析；（2）f(m)＜f(n).

（1）∵f(x)=ax²+bx+c(a≠0)的圖象關于y軸對稱，
∴對任意x∈R，恒有f(-x)=f(x)，即a(-x)²+b(-x)+c=ax²+bx+c恒成立，
據此可求出b="0." f(x)=ax²+c.再根據f(-2)＞f(3),且f(-2)=f(2),
得f(2)＞f(3),因而a<0.且f(x)在(0，+∞)上是減函數..
（2）∵m＞-n＞0,∴f(m)＜f(-n).,再根據f(-n)=f(n)，可得f(m)＜f(n)..
∵f(x)=ax²+bx+c(a≠0)的圖象關于y軸對稱，
∴對任意x∈R，恒有f(-x)=f(x)，
即a(-x)²+b(-x)+c=ax²+bx+c恒成立.
∴2bx=0對任意x∈R恒成立.
∴b=0.
∴f(x)=ax²+c.
∵f(-2)＞f(3),且f(-2)=f(2),
∴f(2)＞f(3).
∴a<0.且f(x)在(0，+∞)上是減函數.
又∵m＞-n＞0,
∴f(m)＜f(-n).
而f(-n)=f(n)，
∴f(m)＜f(n).