Question

求函數y=sin（x+

π

6

）sin（x-

π

6

）+acosx的最大值．（其中a為定值）

Answer 1

分析：利用兩角和差的三角公式化簡函數解析式并換元得 y=f(t)=-t2+at+

3

4

，對稱軸為t=

a

2

，分

a

2

≤-1、-1＜

a

2

＜1、

a

2

≥1三種情況，利用函數的單調性分別求出最大值．

解答：解：函數y=sin（x+

π

6

）sin（x-

π

6

）+acosx=-cos2x+acosx+

3

4

，
設t=cosx，則f(t)=-t2+at+

3

4

，對稱軸為t=

a

2

．
（1）當

a

2

≤-1，即a≤-2時，函數在[-1，1]上單調遞減，∴ymax=f(t)max=f(-1)=-a-

1

4

．
（2）當-1＜

a

2

＜1，即-2＜a＜2時，函數在[-1，1]先增后減，∴ymax=f(t)max=f(

a

2

)=

a2

4

+

3

4

．
（3）當

a

2

≥1，即a≥2時，函數在[-1，1]上單調遞增，∴ymax=f(t)max=f(1)=a-

1

4

．
綜上所述，當a≤-2時，∴ymax=-a-

1

4

； 
當-2＜a＜2時，∴ymax=

a2

4

+

3

4

；
當a≥2時，∴ymax=a-

1

4

．

點評：本題考查二次函數的性質，余弦函數的值域，體現了分類討論的數學思想，分類討論是解題的難點．