Question

設b和c分別是先后拋擲一枚骰子得到的點數．
（1）求b≤2且c≥3的概率；
（2）求函數f（x）=x²+2bx+c圖象與x軸無交點的概率；
（3）用隨機變量ξ表示函數f（x）=x²+2bx+c圖象與x軸交點的個數，求ξ的分布列和數學期望．

Answer 1

分析：（1）由題意知本題是一個等可能事件的概率，試驗發生包含的事件數36，滿足b≤2且c≥3的事件數是2×4，得到概率．
（2）本題是一個等可能事件的概率，試驗發生包含的事件數36，函數f（x）=x²+2bx+c圖象與x軸無交點要滿足△＜0，列舉出所有的事件數，得到概率．
（3）由題意知變量的可能取值，結合變量對應的事件和等可能事件的概率公式寫出變量的概率，寫出分布列和期望值．

解答：解：（1）由題意知本題是一個等可能事件的概率，
試驗發生包含的事件數36，
滿足b≤2且c≥3的事件數是2×4=8
∴要求的概率是

8

36

=

2

9

（2）由題意知本題是一個等可能事件的概率，
試驗發生包含的事件數36，
函數f（x）=x²+2bx+c圖象與x軸無交點要滿足△＜0
當c=2，3，4時，b=1，
當c=5時，b=1，2
當c=6時，b=1，2，共有7種結果，
∴要求的概率是

7

36

．
（3）由題意知ξ的可能取值是0，1，2
P（ξ=0）=

7

36

，P（ξ=1）=

2

36

=

1

18

，P（ξ=2）=

27

36

=

3

4

∴ξ的分布列是

ξ	0	1	2
p	7 36	1 18	3 4

∴ξ 的期望是1×

1

18

+2×

3

4

=

14

9

點評：本題考查離散型隨機變量的分布列和期望，本題解題的關鍵是在第二問中，列舉出符合條件的事件數，注意做到不重不漏．