Question

【題目】已知函數，.

（1）若函數在處的切線與直線平行，求實數的值；

（2）試討論函數在區間上最大值；

（3）若時，函數恰有兩個零點，求證：.

Answer 1

【答案】(1);(2) 當時,,當時，;(3)見解析.

【解析】

試題分析：(1)求函數的導數，由求之即可；(2) ，分當與分別討論函數的單調性，求其最值即可；(3)由可得，即，設，則，即，故，用作差比較法證明即可.

試題解析： （1）由，，

由于函數在處的切線與直線平行，

故，解得.

（2），由時，；時，，

所以①當時，在上單調遞減，

故在上的最大值為；

②當，在上單調遞增，在上單調遞減，

故在上的最大值為；

（3）若時，恰有兩個零點，

由，，

得，

∴，設，，，

故，

∴，記函數，因，

∴在遞增，∵，∴，

又，，故成立.