Question

（本小題滿分12分）

已知＝(cos＋sin，－sin)，＝(cos－sin，2cos).

(1)設f(x)＝·，求f(x)的最小正周期和單調遞減區間；

(2)設有不相等的兩個實數x₁，x₂∈，且f(x₁)＝f(x₂)＝1，求x₁＋x₂的值.

 

Answer 1

【答案】

(1)f(x)的最小正周期T＝2π，f(x)的單調遞減區間是[－＋2kπ，＋2kπ](k∈Z)     ；(2)x₁＋x₂＝－                                    

【解析】(1)先根據向量的坐標運算，求出f(x)的表達式，然后再借助三角恒等變換公式轉化成的形式，再求其最小正周期和單調遞減區間.

(2)解三角方程f(x)=1在特定區間上可求得兩個根.

(1)由f(x)＝·得

f(x)＝(cos＋sin)·(cos－sin)＋(－sin)·2cos

＝cos²－sin²－2sincos＝cosx－sinx＝cos(x＋)，...........4分

所以f(x)的最小正周期T＝2π.............6分

又由2kπ≤x＋≤π＋2kπ，k∈Z，得－＋2kπ≤x≤＋2kπ，k∈Z.

故f(x)的單調遞減區間是[－＋2kπ，＋2kπ](k∈Z)      ……..8分

(2)由f(x)＝1得cos(x＋)＝1，故cos(x＋)＝        ……10分

又x∈，于是有x＋∈，得x₁＝0，x₂＝－，

所以x₁＋x₂＝－                                    12分