Question

【題目】已知橢圓E：，直線l不過(guò)原點(diǎn)O且不平行于坐標(biāo)軸，l與E有兩個(gè)交點(diǎn)A，B，線段AB的中點(diǎn)為M．

若，點(diǎn)K在橢圓E上，、分別為橢圓的兩個(gè)焦點(diǎn)，求的范圍；

證明：直線OM的斜率與l的斜率的乘積為定值；

若l過(guò)點(diǎn)，射線OM與橢圓E交于點(diǎn)P，四邊形OAPB能否為平行四邊形？若能，求此時(shí)直線l斜率；若不能，說(shuō)明理由．

Answer 1

【答案】（1） （2）見(jiàn)證明；（3）見(jiàn)解析

【解析】

，橢圓E：，兩個(gè)焦點(diǎn)，，設(shè)，求出的表達(dá)式，然后求解范圍即可．設(shè)A，B的坐標(biāo)分別為，，利用點(diǎn)差法轉(zhuǎn)化求解即可．直線l過(guò)點(diǎn)，直線l不過(guò)原點(diǎn)且與橢圓E有兩個(gè)交點(diǎn)的充要條件是且設(shè)，設(shè)直線，代入橢圓方程，通過(guò)四邊形OAPB為平行四邊形，轉(zhuǎn)化求解即可．

，橢圓E：，兩個(gè)焦點(diǎn)，

設(shè)，，，

，

，

的范圍是

設(shè)A，B的坐標(biāo)分別為，，則兩式相減，

得，，

即，故；

設(shè)，設(shè)直線，即，

由的結(jié)論可知，代入橢圓方程得，，

由與，聯(lián)立得

若四邊形OAPB為平行四邊形，那么M也是OP的中點(diǎn)，所以，

即，整理得解得，．經(jīng)檢驗(yàn)滿(mǎn)足題意

所以當(dāng)時(shí)，四邊形OAPB為平行四邊形