Question

已知向量

m

=(

3

sinωx，0)，

n

=(cosωx，-sinωx)（ω＞0），在函數f(x)=

m

•(

m

+

n

)+t的圖象中，對稱中心到對稱軸的最小距離為

π

4

，且當x∈[0，

π

3

]時，f（x）的最大值為

3

2

．
（Ⅰ）求f（x）的解析式；
（Ⅱ）求f（x）的單調遞增區間．

Answer 1

分析：（Ⅰ）利用向量的數量積的坐標運算可求得f（x）=

3

sin（2ωx-

π

3

）+

3

2

+t，依題意可求得其周期T=π，從而可得ω；再由正弦函數的單調性與最值可求得t，從而可得f（x）的解析式；
（Ⅱ）由（Ⅰ）知，f（x）=

3

sin（2x-

π

3

），令2kπ-

π

2

≤2x-

π

3

≤2kπ+

π

2

（k∈Z）即可求得f（x）的單調遞增區間．

解答：解：（Ⅰ）∵

m

=（

3

sinωx，0），

n

=（cosωx，-sinωx），
∴f（x）=

m

•（

m

+

n

）+t
=（

3

sinωx，0）•（

3

sinωx+cosωx，-sinωx）+t
=

3

sinωx（

3

sinωx+cosωx）+t
=3sin²ωx+

3

sinωx•cosωx+t
=3•

1-cos2ωx

2

+

3

2

sin2ωx+t
=

3

sin（2ωx-

π

3

）+

3

2

+t…（4分）
∵函數f（x）對稱中心到對稱軸最小距離為

π

4

∴f（x）周期為T=4×

π

4

=π=

2π

2ω

，
∴ω=1…（6分）
∴f（x）=

3

sin（2x-

π

3

）+

3

2

+t
∵0≤x≤

π

3

，
∴0≤2x≤

2π

3

，
∴-

π

3

≤2x-

π

3

≤

π

3

∴-

3

2

≤sin（2x-

π

3

）≤

3

2

，
-

3

2

≤

3

sin（2x-

π

3

）≤

3

2

，
∴f（x）最大值為

3

2

+

3

2

+t=

3

2

，
∴t=-

3

2

．
∴f（x）=

3

sin（2x-

π

3

）…（10分）
（Ⅱ）令2kπ-

π

2

≤2x-

π

3

≤2kπ+

π

2

…（12分）
2kπ-

π

6

≤2x≤2kπ+

5π

6

kπ-

π

12

≤x≤kπ+

5π

12

（k∈Z），
∴f（x）的單調遞增區間為[kπ-

π

12

，kπ+

5π

12

]（k∈Z） …（14分）

點評：本題考查三角函數中的恒等變換應用，考查向量的數量積的坐標運算，突出考查正弦函數的單調性與最值，考查推理與運算的能力，屬于中檔題．