Question

已知中心在原點的雙曲線C的右焦點F₂（2，0），漸近線方程為y=±

3

3

x
（1）求雙曲線C的方程；
（2）若過右焦點F₂的直線l：x=my

+2

與雙曲線C右支交于A、B兩個不同點，求m的取值范圍；
（3）在（2）的條件下，求證：

1

|F2A|

+

1

|F2B|

為定值．

Answer 1

分析：（1）利用雙曲線C的右焦點F₂（2，0），漸近線方程為y=±

3

3

x，建立方程組，從而可求雙曲線C的方程；
（2）直線l：x=my

+2

與雙曲線C聯立，利用直線l：x=my

+2

與雙曲線C右支交于A、B兩個不同點，建立不等式，可求m的取值范圍；
（3）利用韋達定理，結合|F2A|=e(x1-

a2

c

)=ex₁-a，|F2B|=e(x2-

a2

c

)=ex₂-a，可得結論．

解答：（1）解：設雙曲線C的方程為

x 2

a2

-

y 2

b2

=1（a＞0，b＞0）
∵雙曲線C的右焦點F₂（2，0），漸近線方程為y=±

3

3

x
∴

a2+b2=4 b a = 3 3

，∴b²=1，a²=3
∴雙曲線C的方程為

x 2

3

-y2=1；
（2）解：設點A（x₁，y₁）、B（x₂，y₂），則直線l：x=my

+2

與雙曲線C聯立，消去x可得（m²-3）y²+4my+1=0
∵直線l：x=my

+2

與雙曲線C右支交于A、B兩個不同點，
∴y₁y_2＜0
∴

1

m2-3

＜0
∴-

3

＜m＜

3

；
（3）證明：由（2）知，y1+y2=-

4m

m2-3

，y1y2=

1

m2-3

∴x1+x2=

-12

m2-3

，x1x2=

-3m2-12

m2-3

|F2A|=e(x1-

a2

c

)=ex₁-a，|F2B|=e(x2-

a2

c

)=ex₂-a
∴

1

|F2A|

+

1

|F2B|

=

1

ex1-a

+

1

ex2-a

=

2 3 × -12 m2-3 -2 3

4 3 × -3m2-12 m2-3 -2× -12 m2-3 +3

=2

3

為定值．

點評：本題考查雙曲線的標準方程，考查直線與雙曲線的位置關系，考查韋達定理的運用，考查學生的計算能力，屬于中檔題．