Question

如圖，在正三棱錐A-BCD中，∠BAC=30°，AB=a，平行于AD、BC的截面EFCH分別交 AB、BD、DC、CA于點E、F、G、H。

（1）判定四邊形EFCH的形狀，并說明理由；
（2）設P是棱AD上的點，當AP為何值時，平面PBC⊥平面EFCH？請給出證明。

Answer 1

解：（1）∵AD∥面EFGH，面ACD∩面EFGH=HC，
AD面ACD，
∴AD∥HG
同理EF∥HG，EH∥FG，
∴四邊形EFCH是平行四邊形，
∵三棱錐A-BCD是正三棱錐，
∴A在底面上的射影O是△BCD的中心，
∴DO⊥BC
∴AD⊥BC
∴HG⊥EH
∴四邊形EFGH是矩形；
（2）當時，平面PBC⊥平面EFGH
證明如下：作CP⊥AD于P點，連接BP，
∵AD⊥BC，
∴AD⊥面BCP
∵HG∥AD，
∴HC⊥面BCP，
∵HG面EFCH，
∴面BCP⊥面EFGH，
在Rt△APC中 ，∠CAP=30° ，AC=a，
∴。