Question

某車間生產某種產品，固定成本為2萬元，每生產一件產品成本增加100元，已知總收益R（總收益指工廠出售產品的全部收入，它是成本與總利潤的和，單位：元）是年產量Q（單位：件）的函數，并且滿足下面關系式：
R=f（Q）=

400Q- 1 2 Q2 0≤Q≤400 80000 Q＞400

，求每年生產多少產品時，總利潤最大？此時總利潤是多少元？

Answer 1

分析：由題設條件知y=R-100Q-20000=

300Q- 1 2 Q2-20000 0≤Q≤400 60000-100Q Q＞400

（Q∈Z），由此進行分類討論能夠求出每年生產多少產品時，總利潤最大，并能求出此時總利潤．

解答：解：∵y=R-100Q-20000
=

300Q- 1 2 Q2-20000 0≤Q≤400 60000-100Q Q＞400

（Q∈Z），
∴0≤Q≤400時，
y=300Q-

1

2

Q2-20000
=-

1

2

（Q-300）²+25000，
此時，Q=300時，y_max=25000．
Q＞400時，y=60000-100Q＜20000．
所以，每年生產300件時利潤最大，最大值為25000元．

點評：本題考查函數最值的應用，綜合性強，難度大，易出錯．解題時要認真審題，注意分類討論思想的靈活運用．