Question

已知：函數f(x)=

3

sin2ωx-2sin2ωx的最小正周期為3π．
（1）求函數f（x）的解析式；
（2）在△ABC中，若f（C）=1，且2sin²B=cosB+cos（A-C），求sinA的值．

Answer 1

分析：（1）根據二倍角的三角函數公式和輔助角公式，化簡得f（x）=2sin(2ωx+

π

6

)-1，再由函數的最小正周期為3π結合三角函數的周期公式，算出ω=

1

3

即可得到函數f（x）的解析式；
（2）根據（1）的表達式，解關于C的方程f（C）=1，結合C為三角形的內角算出C=

π

2

，因此將等式2sin²B=cosB+cos（A-C）化成關于A的方程，整理得sin²A+sinA-1=0，解之即得sinA的值．

解答：解：（1）根據題意，得
f(x)=

3

sin2ωx-2sin2ωx=

3

sin2ωx-1+cos2ωx=2sin(2ωx+

π

6

)-1…（3分）
∵函數f（x）的周期為3π，即

2π

2ω

=3π，
∴ω=

1

3

，…（5分）
因此，函數f（x）的解析式是f(x)=2sin(

2x

3

+

π

6

)-1…（6分）
（2）∵f(C)=2sin(

2C

3

+

π

6

)-1=1
∴sin(

2C

3

+

π

6

)=1，
∵C∈（0，π），可得

2C

3

+

π

6

∈(

π

6

，

5π

6

)，
∴

2C

3

+

π

6

=

π

2

，可得C=

π

2

．…（8分）
∵在Rt△ABC中，A+B=

π

2

，有2sin²B=cosB+cos（A-C）
∴2cos²A-sinA-sinA=0，即sin²A+sinA-1=0，解之得sinA=

-1± 5

2

…（11分）
∵0＜sinA＜1，∴sinA=

5 -1

2

．…（12分）

點評：本題給出函數y=Asin（ωx+φ）+k的周期，求函數的表達式并依此求三角形ABC的角A的正弦值．著重考查了三角恒等變換、三角函數的圖象與性質和同角三角函數的基本關系等知識點，屬于中檔題．