Question

（2013•懷化二模）在直角坐標平面內，y軸右側的一動點P到點（

1

2

，0）的距離比它到y軸的距離大

1

2

．
（Ⅰ）求動點P的軌跡C的方程；
（Ⅱ）設Q為曲線C上的一個動點，點B，C在y軸上，若△QBC為圓（x-1）²+y²=1的外切三角形，求△QBC面積的最小值．

Answer 1

分析：（Ⅰ）利用拋物線的定義，可求動點P的軌跡C的方程；
（Ⅱ）設出Q，B，C的坐標，利用直線QB是圓的切線，進而可表示出△QBC面積，換元，利用基本不等式，即可求△QBC面積的最小值．

解答：解：（Ⅰ）由題知點P到F(

1

2

，0)的距離與它到直線x=-

1

2

的距離相等，
所以點P的軌跡是拋物線，方程為y²=2x…（4分）
（Ⅱ）設Q（x₀，y₀），B（0，b），C（0，c），則QB：y-b=

y0-b

x0

x即（y₀-b）x-x₀y+x₀b=0
由直線QB是圓的切線知

|y0-b+x0b|

(y0-b)2+x02

=1，即(x0-2)b2+2y0b-x0=0
同理∵x0＞0，(x0-2)c2+2y0c-x0=0所以b，c是方程(x0-2)t2+2y0t-x0=0的兩根
∴b+c=-

2y0

x0-2

，bc=-

x0

x0-2

…（8分）
∴S△QBC=

1

2

|b-c|x0=

1

2

4y02 (x0-2)2 + 4x0 x0-2

•x0
又y02=2x0，∴S△QBC=

x02

|x0-2|

由題知x₀＞2，∴S△QBC=

x02

x0-2

令t=x₀-2，則S△QBC=

(t+2)2

t

=t+

4

t

+4≥4+4=8，當t=2即x₀=4時，取“=”
∴△QBC面積的最小值為8…（12分）

點評：本題考查拋物線的定義與標準方程，考查三角形面積的計算，考查基本不等式的運用，考查學生的計算能力，屬于中檔題．