Question

（2013•南開區二模）已知數列{a_n}的前n項和為S_n，且an=

1

2

(3n+Sn)對一切正整數n成立．
（1）證明：數列{3+a_n}是等比數列，并求出數列{a_n}的通項公式；
（2）設b_n=

n

3

a_n，求數列{b_n}的前n項和為B_n；
（3）數列{a_n}中是否存在構成等差數列的四項？若存在求出一組；否則說明理由．

Answer 1

分析：（1）由已知可得S_n=2a_n-3n，進而得a_n+1=S_n+1-S_n=2a_n+3，故a_n+1+3=2（a_n+3），數列{a_n+3}是等比數列，易求結果；（2）由（1）可知b_n=

n

3

a_n=n2ⁿ-n，由錯位相減法可解；（3）先假設存在，由題意可得2^m+2^q=2ⁿ+2^p，即1+2^q-m=2^n-m+2^p-m，推出矛盾．

解答：解：（1）由a_n=

1

2

（3n+S_n）可得S_n=2a_n-3n，故a_n+1=S_n+1-S_n=2a_n+3
由待定系數法得a_n+1+3=2（a_n+3）又a₁+3=6≠0
∴數列{a_n+3}是以6為首項，2為公比的等比數列．
∴a_n+3=6×2^n-1，
∴a_n=3（2ⁿ-1）．…（4分）
（2）由（1）可得b_n=

n

3

a_n=n2ⁿ-n，
∴B_n=1×2¹+2×2²+3×2³+…+n×2ⁿ-（1+2+3+…+n）   ①
∴2B_n=1×2²+2×2³+3×2⁴+…+n×2ⁿ⁺¹-2（1+2+3+…+n）   ②
①-②得，-B_n=2+（2²+2³+…+2ⁿ）+

n(n+1)

2

化簡可得B_n=2+(n-1)2n+1-

n(n+1)

2

．…（9分）
（3）假設數列{a_n}存在構成等差數列的四項依次為：a_m、a_n、a_p、a_q（m＜n＜p＜q）
則3（2^m-1）+3（2^q-1）=3（2ⁿ-1）+3（2^p-1）∴2^m+2^q=2ⁿ+2^p．
上式兩邊同除以2^m，則1+2^q-m=2^n-m+2^p-m
∵m、n、p、q∈N*，且m＜n＜p＜q，
∴上式左邊是奇數，右邊是偶數，相矛盾．
∴數列{a_n}不存在構成等差數列的四項．

點評：本題為數列的綜合應用，涉及由和求通項公式，錯位相減法求和，屬中檔題．