Question

【題目】已知函數.

（Ⅰ）判斷函數的單調性；

（Ⅱ）求證： .

Answer 1

【答案】（Ⅰ）在和上都是增函數 （Ⅱ）證明見解析

【解析】【試題分析】（1）先對題設條件中函數解析式進行求導，再構造函數對所求得的導函數的值的符號進行判定；（2）先構造函數，再對其求導得到，求出導函數的零點，得到最小值為0，從而證得然后借助函數的單調性，分、、三種情形進行分析推證，使得不等式獲證。

解：（Ⅰ）由已知的定義域為，

,

設，則，得，

∴在上是減函數，在上是增函數，

∴

∴在和上都是增函數./span>

（Ⅱ）設，

則，得，

∴在上是減函數，在上是增函數，

∴，即.

①當時， ，

∵在上是增函數，

∴，即，∴.

②當時， ，∵在上是增函數，

∴，即，∴.

③當時，

由①②③可知，對一切，有，即.