Question

錯位相減法求和：求和：S_n=1+3x+5x²+7x³+…+（2n-1）x^n-1．

Answer 1

由題可知，{（2n-1）x^n-1}的通項是等差數列{2n-1}的通項與等比數列{x^n-1}的通項之積．
∵S_n=1+3x+5x²+7x³+…+（2n-1）x^n-1，
∴xSn=x+3x2+…+(2n-3)xn-1+（2n-1）xⁿ，
兩式相減得（1-x）S_n=1+2x+2x²+…+2x^n-1-（2n-1）xⁿ，
①當x≠1，0時，由等比數列的求和公式得：（1-x）S_n=1+

2x(1-xn-1)

1-x

-(2n-1)xn，
∴Sn=

(2n-1)xn+1-(2n+1)xn+(1+x)

(1-x)2

；
②當x=1時，S_n=1+3+5+…+（2n-1）=

n(1+2n-1)

2

=n²．
③當x=0時，S_n=1+0=1．