Question

過直線y=2上一點P向單位圓作兩切線，切點分別為A、B．
（I）若A、B兩點所在直線與直線y=-2交于點M，若點M的橫坐標的取值范圍為[1，

5

2

]，求P點橫坐標的取值范圍；
（II）在（I）的條件下，是否存在一條切線作為入射線射到直線y=-2上，其反射線也與單位圓相切？若存在，求出該切線方程；若不存在，請說明理由．

Answer 1

分析：（I）求出以P為圓心，以AP為半徑的圓的方程，利用圓系方程，求出公共弦AB的方程，將M點的坐標代入AB的方程，利用點M的橫坐標的取值范圍為[1，

5

2

]可以求得P點橫坐標的取值范圍；
（Ⅱ）設存在一條切線作為入射線射到直線y=-2上，其反射線也與單位圓相切，滿足要求的法線為y軸，求得入射線的方程后，驗證即可．

解答：解：（I）設P（x₀，2）由題意可得PA²=OP²-OA²=（x₀²+4）-1，
所以以P為圓心，以AP為半徑的圓的方程為（x-x₀）²+（y-2）²=x₀²+3，…①
又單位圓的方程為x²+y²=1…②
直線AB的方程就是兩個圓的公共弦的方程，
所以①-②得x₀x+2y=1，由

x0x+2y=1 y=-2

得M(

5

x0

，-2)，
又點M的橫坐標的取值范圍為[1，

5

2

]，由 1≤

5

x0

≤

5

2

得2≤x₀≤5；
（Ⅱ）設存在一條切線作為入射線射到直線y=-2上，入射點為P，其反射線也與單位圓相切，
由題意可知法線必為y軸，
所以點P坐標為（-2，0），設入射線與單位圓相切于點N，在直角三角形PNO中，sin∠OPN=

1

2

，∠OPN=30°
所以入射光線AP的傾斜角為60°，kAP=tan 60° =

3

，直線AP又經過點（-2，0）
所以入射線AP的方程為：y=

3

x-2；由

y= 3 x-2 y=2

得x=

4

3

3

∈[2，5]；
所以存在這樣的入射光線滿足題意，其方程為：y=

3

x-2．

點評：本題考查直線的一般式方程，圓的切線方程，圓系方程，考查學生發現問題解決問題的能力，是中檔題．