Question

已知橢圓的左焦點為F，左右頂點分別為A,C上頂點為B，過F,B,C三點作，其中圓心P的坐標為．(1) 若FC是的直徑，求橢圓的離心率；

（2）若的圓心在直線上，求橢圓的方程．

Answer 1

（本小題主要考查圓、橢圓、基本不等式等知識，考查數(shù)形結(jié)合、化歸與轉(zhuǎn)化、函數(shù)與方程的數(shù)學思想方法，以及推理論證能力和運算求解能力）

解：（1）由橢圓的方程知，

∴點，，

設(shè)的坐標為，                      ………………1分

∵FC是的直徑，

∴

∵ 

∴                      --------------------2分

∴，  --------------------------------------3分

解得 --------------------------------------5分

∴橢圓的離心率--------------------6分

（2）∵過點F,B,C三點，

∴圓心P既在FC的垂直平分線上，

也在BC的垂直平分線上，

FC的垂直平分線方程為--------①

              -----------7分

∵BC的中點為，

∴BC的垂直平分線方程為-----②        

---------9分

由①②得，

即                   -----11分

∵P在直線上，

∴ 

∵ 

∴                           ------------------13分

由得

∴橢圓的方程為.            -------------------14分