Question

（2011•安徽模擬）設數列{a_n}是等差數列，{b_n}是各項均為正數的等比數列，且a₁=b₁，a₃+b₅=21，a₅+b₃=13，
（1）求數列{a_n}，{b_n}的通項公式；
（2）若數列{

an

bn

}的前n項和為S_n，試比較S_n與4的大小關系．

Answer 1

分析：（1）設{a_n}的公差為d，{b_n}的公比為q，根據等比數列和等差數列的通項公式，聯立方程求得d和q，進而可得{a_n}、{b_n}的通項公式．
（2）數列{

an

bn

}的通項公式由等差和等比數列構成，進而可用錯位相減法求得前n項和S_n．利用作差法比較S_n與4的大小關系．

解答：解：（1）設{a_n}的公差為d，{b_n}的公比為q，則依題意有q＞0且

1+2d+q4=21 1+4d+q2=13

解得d=2，q=2．
所以a_n=1+（n-1）d=2n-1，b_n=q^n-1=2^n-1．
（2）

an

bn

=

2n-1

2n-1

．
Sn=1+

3

21

+

5

22

++

2n-3

2n-2

+

2n-1

2n-1

，①
∴2Sn=2+3+

5

2

++

2n-3

2n-3

+

2n-1

2n-2

，②
②-①得Sn=2+2+

2

2

+

2

22

++

2

2n-2

-

2n-1

2n-1

=2+2×(1+

1

2

+

1

22

++

1

2n-2

)-

2n-1

2n-1

=2+2×

1- 1 2n-1

1- 1 2

-

2n-1

2n-1

=6-

2n+3

2n-1

．
S_n-4=2-

2n+3

2n-1

，
由S_n-4＜0得出2ⁿ＜2n+3，解得n=1，2，3，
由S_n-4＞0得出2ⁿ＞2n+3，解得n=4，5，6，…．
所以當n≤3時S_n＜4，當n≥4時S_n＞4．

點評：本題主要考查數列的通項公式、錯位相消法求和．不等關系的比較．考查計算能力．