Question

已知數(shù)列{a_n}中，a₁=0，an+1=

1

2-an

，n∈N^*．
（1）求證：{

1

an-1

}是等差數(shù)列；并求數(shù)列{a_n}的通項公式；
（2）假設(shè)對于任意的正整數(shù)m、n，都有|b_n-b_m|＜ω，則稱該數(shù)列為“ω域收斂數(shù)列”．試判斷：數(shù)列bn=an•(-

4

5

)n，n∈N^*是否為一個“

2

3

域收斂數(shù)列”，請說明你的理由．

Answer 1

證：（1）因為

1

an+1-1

=

1

1 2-an -1

=

2-an

an-1

=-1+

1

an-1

，
所以

1

an+1-1

-

1

an-1

=-1，n∈N^*；
故{

1

an-1

}是等差數(shù)列．
由此可得，

1

an-1

=

1

a1-1

+(n-1)×(-1)=-n，
所以an=1-

1

n

=

n-1

n

，n∈N^*．
（2）由條件bn=an•(-

4

5

)n，
可知當(dāng)n=2k，b_n＞0；當(dāng)n=2k-1時，b_n≤0，k∈N^*．
令|bn|=an•(

4

5

)n，則|bn+1|-|bn|=

n

n+1

•(

4

5

)n+1-

n-1

n

•(

4

5

)n=(

4

5

)n[

4

5

•

n

n+1

-

n-1

n

]=(

4

5

)n•

-n2+5

5n(n+1)

．
∴當(dāng)-n²+5＞0?n≤2時，|b_n+1|＞|b_n|；
同理可得，當(dāng)-n²+5＜0?n≥3時，|b_n+1|＜|b_n|；
即數(shù)列{|b_n|}在n=1，2，3時遞增；n≥4時，遞減；
即|b₃|是數(shù)列{|b_n|}的最大項．
然而，因為{b_n}的奇數(shù)項均為-|b_n|，故b3=-

2

3

•(

4

5

)3=-

128

375

為數(shù)列{b_n}的最小項；
而b2=

1

2

(

4

5

)2=

8

25

=0.32，b4=

3

4

•(

4

5

)4=

192

625

=0.3072，
所以b₂＞b₄，故b₂是數(shù)列{b_n}的最大項．
∴對任意的正整數(shù)m、n，|bn-bm|≤|b2-b3|=|

8

25

+

128

375

|=

248

375

＜

2

3

，
∴數(shù)列bn=an•(-

4

5

)n，n∈N^*是一個“

2

3

域收斂數(shù)列”．