Question

如圖所示，已知二次函數(shù)y=-x²+9，矩形ABOC的頂點(diǎn)A在第一象限內(nèi)，且A在拋物線上，頂點(diǎn)B、C分別在y軸、x軸上，設(shè)點(diǎn)A的坐標(biāo)為（x，y）．
（1）試求矩形ABOC的面積S關(guān)于x的函數(shù)解析式S=S（x），并求出該函數(shù)的定義域；
（2）是否存在這樣的矩形ABOC，使它的面積為6，并證明你的結(jié)論．

Answer 1

分析：（1）由點(diǎn)A在第一象限內(nèi)，知AC=y=-x²+9，AB=x，由此能求出求出該函數(shù)的定義域．
（2）假設(shè)存在x，使得-x³+9x=6，令：g（x）=x³-9x+6，由此能導(dǎo)出存在這樣的矩形ABOC，使它的面積為6．

解答：解：（1）∵點(diǎn)A在第一象限內(nèi)，
∴AC=y=-x²+9，AB=x（2分）
∴S=S（x）=AC•AB=-x³+9x
其定義域?yàn)椋?＜x＜3．（5分）
（2）假設(shè)存在x，使得-x³+9x=6
令：g（x）=x³-9x+6
∵g（0）=6＞0且g（1）=-2＜0（8分）
∴函數(shù)g（x）在區(qū)間（0，1）內(nèi)有零點(diǎn)，
∴存在這樣的矩形ABOC，
使它的面積為6．（10分）

點(diǎn)評(píng)：本題考查函數(shù)的解析式及其求法，解題時(shí)要認(rèn)真審題，仔細(xì)解答，注意合理地進(jìn)行等價(jià)轉(zhuǎn)化．