Question

設S₁=1²，S₂=1²+2²+1²，S₃=1²+2²+3²+2²+1²，…，
S_n=1²+2²+3²+…+n²+…+3²+2²+1²，…
用數學歸納法證明：公式Sn=

n(2n2+1)

3

對所有的正整數n都成立．

Answer 1

分析：本題考查的知識點是數學歸納法，由數學歸納法的步驟，我們先判斷n=1時Sn=

n(2n2+1)

3

對是否成立，然后假設當n=k時，公式Sn=

n(2n2+1)

3

成立，只要能證明出當n=k+1時，公式Sn=

n(2n2+1)

3

成立即可得到公式Sn=

n(2n2+1)

3

對所有的正整數n都成立．

解答：證明：因為S_n=1²+2²+3²+…+n²+…+3²+2²+1²，即要證明
1²+2²+3²+…+n²+…+3²+2²+1²=

n(2n2+1)

3

，（A）
（Ⅰ）當n=1，左邊=1，右=

1•3

3

=1，故（A）式成立
（Ⅱ）假設當n=k時，（A）式成立，即
1²+2²+3²+…+k²+…+3²+2²+1²=

k(2k2+1)

3

現設n=k+1，在上式兩邊都加上（k+1）²+k²，得
1²+2²+3²+…+k²+（k+1）²+k²+…+3²+2²+1²=

k(2k2+1)

3

+（k+1）²+k²，
=

2k3+k+3(k+1)2+3k2

3

=

k(2k+1)(k+1)+3(k+1)2

3

=

(k+1)(2k2+4k+3)

3

=

(k+1)[2(k+1)2+1]

3

．
即證得當n=k+1時（A）式也成立根據（Ⅰ）和（Ⅱ），
（A）式對所有的正整數n都成立，即證得Sn=

n(2n2+1)

3

點評：數學歸納法的步驟：①證明n=1時A式成立②然后假設當n=k時，A式成立③證明當n=k+1時，A式也成立④下緒論：A式對所有的正整數n都成立．