Question

(21)已知函數,設曲線在點(x_n,f(x_n))處的切線與x軸的交點(x_n+1,0)(x∈N*)其中x為正實數

(Ⅰ)用x_n表示x_n+1

(Ⅱ)求證：對一切正整數n，的充要條件是；

（Ⅲ）若x₁=4，記，證明數列｛a_n｝成等比數列，并求數列｛a_n｝的通項公式。

Answer 1

本題綜合考察數列、函數、不等式、導數應用等知識，以及推理論證、計算及解決問題的能力。

解：（Ⅰ）由題可得

所以過曲線上點的切線方程為，

即

令，得，即

顯然 ∴

（Ⅱ）證明：（必要性）

若對一切正整數，則，即，而，∴，即有

（充分性）若，由

用數學歸納法易得，從而，即

又 ∴

于是，

即對一切正整數成立

（Ⅲ）由，知，同理，

故

從而，即

所以，數列成等比數列，故，

即，從而

所以