Question

已知{a_n}是由非負整數組成的數列，滿足a₁=0，a₂=3，a_n+1a_n=（a_n-1+2）（a_n-2+2），n=3，4，5，…，
（1）求a₃；
（2）證明a_n=a_n-2+2，n=3，4，5，…；
（3）求{a_n}的通項公式及其前n項和S_n．

Answer 1

分析：（1）由題設得a₃a₄=10，且a₃、a₄均為非負整數，所以a₃的可能的值為1，2，5，10．然后逐個進行驗證得a₃=2．
（2）用數學歸納法進行證明，知對于所有k≥3，有a_k+1=a_k-1+2．
（3）由a_2k-1=a_2（k-1）-1+2，a₁=0及a_2k=a_2（k-1）+2，a₂=3，得a_2k-1=2（k-1），a_2k=2k+1，k=1，2，3，．
即a_n=n+（-1）ⁿ，n=1，2，3，所以Sn=

1 2 n(n+1)，當n為偶數 1 2 n(n+1)-1，當n為奇數

．

解答：解：（1）由題設得a₃a₄=10，且a₃、a₄均為非負整數，所以a₃的可能的值為1，2，5，10．
若a₃=1，則a₄=10，a5=

3

2

，與題設矛盾，
若a₃=5，則a₄=2，a5=

35

2

，與題設矛盾，
若a₃=10，則a₄=1，a₅=60，a6=

3

5

，與題設矛盾，
所以a₃=2．
（2）用數學歸納法證明，
①當n=3，a₃=a₁+2，等式成立，
②假設當n=k（k≥3）時等式成立，即a_k=a_k-2+2，
由題設a_k+1a_k=（a_k-1+2）（a_k-2+2），
∵a_k=a_k-2+2≠0，∴a_k+1=a_k-1+2，
也就是說，當n=k+1時，等式a_k+1=a_k-1+2成立．
根據①和②，對于所有k≥3，有a_k+1=a_k-1+2．
（3）由a_2k-1=a_2（k-1）-1+2，a₁=0及a_2k=a_2（k-1）+2，a₂=3，
得a_2k-1=2（k-1），a_2k=2k+1，k=1，2，3，
即a_n=n+（-1）ⁿ，n=1，2，3，
所以Sn=

1 2 n(n+1)，當n為偶數 1 2 n(n+1)-1，當n為奇數

點評：本題考查數列的綜合運用，解題時要仔細審題，要注意公式的靈活運用，注意答題的時間控制．