Question

如圖是斯特林數三角陣表，表中第r行每一個數等于它右肩上的數的r-1倍再加上它左肩上的數，則此表中：
（1）第6行的第二個數是

274

；
（2）第n+1行的第二個數是

（1+

1

2

+

1

3

+…+

1

n

）n!

．（用n表示）

Answer 1

分析：（1）由題意可得，第n行共有n個數，第n行的第一個 a_{（n，1）}=（n-1）!，且 a_{（n+1，2）}=a_{（n，1）}+na_（n，2）．結合所給的圖形可得第6行的第二個數是a_（6，2）=a_（5，1）+5a_{（5，2）}，計算求得結果．
（2）第n+1行的第二個數是 a_{（n，1）}+na_{（n，2）}=（n-1）!+na_{（n，2）}，再利用迭代法求得它的值．

解答：解：（1）由題意可得，第n行共有n個數，第n行的第一個 a_{（n，1）}=（n-1）!，
且 a_{（n+1，2）}=a_{（n，1）}+na_（n，2）．
結合所給的圖形可得第6行的第二個數是a_{（6，2）}=a_{（5，1）}+5a_（5，2）=24+5×50=274，
故答案為 274．
（2）第n+1行的第二個數是 a_{（n+1，2）}=a_（n，1）+na_{（n，2）}=（n-1）!+na_{（n，2）}
=（n-1）!+n[a_{（n-1，1）}+（ n-1）a_{（n-1，2）}]
=（n-1）!+na_{（n-1，1）}+n（n-1）a_{（n-1，2）}
=（n-1）!+n（n-2）!+n（n-1）[a_{（n-2，1）}+（n-2）a_{（n-2，2）}]
=（n-1）!+n（n-2）!+n（n-1）（n-3）!+（n-2）[a_{（n-3，1）}+（n-3）a_{（n-3，2）}]
=…
=（n-1）!+n（n-2）!+n（n-1）（n-3）!+n（n-2）（n-4）!+…+n!
=（

1

n

+

1

n-1

+

1

n-2

+…+

1

3

+

1

2

+1）n!=（1+

1

2

+

1

3

+…+

1

n

）n!，
故答案為 （1+

1

2

+

1

3

+…+

1

n

）n!．

點評：本題主要考查歸納推理，求得，第n行的第一個 a_{（n，1）}=（n-1）!，且 a_{（n+1，2）}=a_（n，1）+na_{（n，2）}，是解題的關鍵，屬于中檔題．