Question

【題目】在直角坐標系xOy下，曲線C1的參數方程為（ 為參數），曲線C1在變換T：的作用下變成曲線C2．

（1）求曲線C2的普通方程；

（2）若m>1，求曲線C2與曲線C3：y=m|x|-m的公共點的個數．

Answer 1

【答案】（1）．（2）4

【解析】

（1）先求出曲線C1的普通方程，再根據圖象變換可求出曲線C2的普通方程；

（2）由題意可得上的點在橢圓E：外，當時，曲線的方程化為，聯立直線與橢圓的方程，由韋達定理可得當時，曲線C2與曲線C3有且只有兩個不同的公共點，又曲線C2與曲線C3都關于y軸對稱，從而可得結論．

解：（1）因為曲線C1的參數方程為

所以曲線C1的普通方程為，

將變換T：即代入，得，

所以曲線C2的普通方程為．

（2）因為m>1，所以上的點在在橢圓E：外，

當x>0時，曲線的方程化為，

代入，得，（*）

因為，

所以方程（*）有兩個不相等的實根x1，x2，

又，，所以x1>0，x2>0，

所以當x>0時，曲線C2與曲線C3有且只有兩個不同的公共點，

又因為曲線C2與曲線C3都關于y軸對稱，

所以當x<0時，曲線C2與曲線C3有且只有兩個不同的公共點，

綜上，曲線C2與曲線C3：y=m|x|-m的公共點的個數為4．