Question

若復數z滿足|z++i|≤1，求：

（1）|z|的最大值和最小值；

（2）|z-1|²+|z+1|²的最大值和最小值；

（3）|z-|²+|z-2i|²的最大值和最小值.

Answer 1

解：（1）如下圖所示,||=，?

∴|z|_Max=2+1=3,|z|_Min=2-1=1.?

（2）|z-1|²+|z+1|²=2|z|²+2,?

∴|z-1|²+|z+1|²的最大值為20，最小值為4.?

（3）如下圖，在圓面上任取一點P，與復數z₁=，z₂=2i的對應點A、B相連，得向量、，再以、為鄰邊作平行四邊形將問題再次轉化為（1）的類型.?

設z_a=，z_b=2i，P為圓面上任一點，z_P=z.?

則2||²+2||²=||²+(2||）²=7+4||²，?

∴|z-|²+|z-2i|²=（7+4|z--i|²）.?

而|z--i|_Max=|O′M|+1=1+，|z--i|_Min=|O′M|-1=-1,?

∴|z-|²+|z-2i|²的最大值為27+2，最小值為27-2.

點評：利用復數模的幾何意義，將問題轉化為平行四邊形的兩邊的平方和與對角線的平方和的關系.