Question

求和：S_n=（x+

1

x

）²+（x²+

1

x2

）²+…+（xⁿ+

1

xn

）²．

Answer 1

分析：先討論當x=±1時，通項為常數，求出其前n項的和；再求當x≠±1時，將數列的通項展開，判斷出其是有三個特殊數列的和構成，兩個等比數列一個等差數列；利用分組求和的方法，求出前n項和

解答：解：當x=±1時，
∵（xⁿ+

1

xn

）²=4，∴S_n=4n，
當x≠±1時，
∵a_n=x²ⁿ+2+

1

x2n

，
∴S_n=（x²+x⁴++x²ⁿ）+2n+（

1

x2

+

1

x4

++

1

x2n

）=

x2(x2n-1)

x2-1

+

x-2(1-x-2n)

1-x-2

+2n
=

(x2n-1)(x2n+2+1)

x2n(x2-1)

+2n，
所以當x=±1時，S_n=4n；
當x≠±1時，S_n=

(x2n-1)(x2n+2+1)

x2n(x2-1)

+2n．

點評：求數列的前n項和，關鍵是判斷出數列通項的特點，然后選擇合適的求和方法．