Question

△A₁OB₁，△A₂B₁B₂，△A₃B₂B₃，…，△A_nB_n-1B_n均為等腰直角三角形，已知它們的直角頂點A₁，A₂，A₃，…，A_n在曲線xy=1（x＞0）上，B₁，B₂，B₃，…，B_n在x軸上（如圖），
（1）求斜邊OB₁，B₁B₂，B₂B₃的長；
（2）求數列OB₁，B₁B₂，B₂B₃，…，B_n-1B_n的通項公式．

Answer 1

分析：（1）利用圖形關系直接可以計算；（2）解法一可以由（1）猜想結論，然后利用數學歸納法進行證明，解法二借助于表示出B_n、A_n的坐標，利用曲線xy=1，從而構建數列，探求其通項．

解答：解：（1）OB1=2，B1B2=2(

2

-1)，B2B3=2(

3

-

2

)．（4分）
（2）解法1：B_n-1B_n=a_n，猜想出an=Bn-1Bn=2(

n

-

n-1

)
當n=1時，由上已證猜想成立．
假設n=k時，猜想成立，即有ak=2(

k

-

k-1

)，（2分）
設S_k是a_n的前k項和，則有(Sk+

ak+1

2

)•

ak+1

2

)•

ak+1

2

=1．
∴(Sk-1+

ak

2

)•

ak

2

=1．
兩式相減，得

ak+1

2

+

ak

2

=

2

ak+1

-

2

ak

（3分）
即

ak+1

2

+(

k

-

k-1

)=

2

ak+1

-(

k

+

k-1

)．
∴

a

2 k+1

+4

k

ak+1-4=0，
解得ak+1=2(

k+1

-

k

)，即n=k+1時，猜想也成立，（2分）
綜合上述，所求的通項公式an=Bn-1Bn=2(

n

-

n-1

)．（1分）
解法2：設OB₁=a₁，B₁B₂=a₂，，B_n-1B_n=a_n，{a_n}的前n項和為S_n
．側B_n（S_n，0），∴An+1(Sn+

1

2

an+!，

1

2

an+1)．（3分）
代入曲線方程得：(Sn+

1

2

an+1)(

1

2

an+1)=1，且(

1

2

a1)2=1，（2分）

∴2Snan+1+(an+1)2=4，a1=2， 2Sn(Sn+1-Sn)+(Sn+1-Sn)2=4，S1=2.

化簡得（S_n+1）²-（S_n）²=4，（3分）
∴（S_n）²=（S₁）²+4（n-1）=4n，∴Sn=2

n

所求的通項公式為an=Bn-1Bn=2(

n

-

n-1

)．

點評：本題的解法一體現特殊到一般地思維，但結論的正確性必須有嚴密的證明；解法二的關鍵是構建數列，從而探求數列的通項．