Question

函數f（x）的定義域為A，若x₁、x₂∈A且f（x₁）=f（x₂）時總有x₁=x₂，則稱f（x）為單函數．例如，函數f（x）=2x+1（x∈R）是單函數．下列命題：
①若函數f（x）是f（x）=x²（x∈R），則f（x）一定是單函數；
②若f（x）為單函數，x₁、x₂∈A且x₁≠x₂，則f（x₁）≠f（x₂）；
③若定義在R上的函數f（x）在某區間上具有單調性，則f（x）一定是單函數；
④若函數f（x）是周期函數，則f（x）一定不是單函數；
⑤若函數f（x）是奇函數，則f（x）一定是單函數．
其中的真命題的序號是

②④

．

Answer 1

分析：利用單函數的定義分別對五個命題進行判斷，即可得出正確結論．

解答：解：①若函數f（x）是f（x）=x²，則由f（x₁）=f（x₂）得

x

2 1

=

x

2 2

，得到x₁=±x₂，所以①不是單函數，所以①錯誤．
②若f（x）為單函數，則f（x₁）=f（x₂）時總有x₁=x₂，即x₁≠x₂，則f（x₁）≠f（x₂），所以②正確．
③當函數單調時，在單調區間上必有f（x₁）=f（x₂）時總有x₁=x₂，但在其他定義域上，不一定是單函數，所以③錯誤．
④若函數f（x）是周期函數，則滿足f（x₁）=f（x₂），則有x₁=kT+x₂，所以④正確．
⑤若函數f（x）是奇函數，比如f（x）=sinx，是奇函數，則滿足f（x₁）=f（x₂），則x₁，x₂，不一定相等．所以⑤錯誤．
故答案為：②④．

點評：本題主要考查函數的性質的推導和判斷，考查學生分析問題的能力，綜合性較強．