Question

已知橢圓的離心率與雙曲線的離心率互為倒數(shù)，直線與以原點為圓心，以橢圓的短半軸長為半徑的圓相切.
（1）求橢圓的方程；
（2）設(shè)橢圓的左焦點為，右焦點為，直線過點且垂直于橢圓的長軸，動直線垂直于點，線段垂直平分線交于點，求點的軌跡的方程；
（3）設(shè)第（2）問中的與軸交于點，不同的兩點在上，且滿足,求的取值范圍.

Answer 1

（1）；（2）（3）

解析試題分析：（1）雙曲線的離心率為，所以橢圓的離心率為。根據(jù)題意原點到直線的距離為，又因為可解得。（2）由題意知即點到直線，和到點的距離相等，根據(jù)橢圓的定義可知點的軌跡是以為焦點以直線為準(zhǔn)線的拋物線。（3）由的方程為知設(shè)，根據(jù)得出的關(guān)系，用兩點間距離求，再用配方法求最值。
試題解析：解（1）易知：雙曲線的離心率為，，
即 ，                             1分
又由題意知：，                          2分
橢圓的方程為.                                   3分
（2） 
動點到定直線的距離等于它到定點的距離       5分
動點的軌跡是以為準(zhǔn)線，為焦點的拋物線，              6分
點的軌跡的方程為.                                7分
（3）由（2）知：,設(shè)，
則，                      8分

，                  9分
由，左式可化簡為：，               10分
，
當(dāng)且僅當(dāng)，即時取等號，                       11分
又，
當(dāng)，即時，，                  13分
故<