Question

已知函數y＝log₂(n∈N*)．

(1)當n＝1，2，3，…時，把已知函數的圖象和直線y＝1的交點的橫坐標依次記為a₁，a₂，a₃，……，求證a₁＋a₂＋a₃＋…＋a_n＜1；

(2)對于每一個n的值，設A_n、B_n為已知函數的圖象上與x軸距離為1的兩點，求證：n取任意一個正整數時，以A_nB_n為直徑的圓都與一條定直線相切，并求出這條定直線的方程和切點的坐標．

Answer 1

答案：
解析：

解答　　原函數可化為：y＝x 　　(1)y＝1時，可求得x＝()n， 　　即an＝()n＝()()n－1， 　　∴{an}是以為首項，為公比的等比數列． 　　a1＋a2＋a3＋…＋an＝＝1－＜1 　　(2)同理可以求An、Bn的橫坐標，可得An、Bn的坐標分別為(，1)，和(2n，－1)，因此|AnBn|＝＝2n＋，因此AnBn中點C到y軸距離＝． 　　∴以C為圓心AnBn為直徑的圓必定與定直線y軸相切，這條定直線的方程為x＝0，點C的縱坐標為0，可知從點C到y軸作垂線的垂足就是原點即切點，所以切點坐標為(0，0)．