Question

如圖所示，平面直角坐標系中，已知橢圓

x2

a2

+

y2

b2

=1（a＞b＞0），A、B是其左、右頂點，動點M滿足MB⊥AB，連接AM交橢圓于點P，若MO⊥PB，則橢圓的離心率為

2

2

．

Answer 1

分析：可設出直線AM的方程，與直線MB的方程聯立可求得M點的坐標，從而可得OM的斜率，繼而有直線BP的方程，與直線AM的方程聯立可求得P點的坐標，代入橢圓方程，整理即可求得橢圓的離心率．

解答：解：依題意，A（-a，0），設直線AM的方程為：y=k（x+a），①與直線MB的方程聯立得M（a，2ka），
∴OM的斜率k_OM=2k，
∵MO⊥PB，
∴k_BP=-

1

2k

，又B（a，0），
∴直線BP的方程為：y=-

1

2k

（x-a），②
∴由①②聯立

y=k(x+a) y=- 1 2k (x-a)

得P點的坐標為：P（

a(1-2k2)

2k2+1

，

2ak

2k2+1

），
∵點P在橢圓

x2

a2

+

y2

b2

=1（a＞b＞0），
∴

( a(1-2k2) 2k2+1 )2

a2

+

( 2ak 2k2+1 )2

b2

=1，
∴4a²k²=8b²k²，k≠0，
∴a²=2b²=2（a²-c²），
∴a²=2c²，
∴e=

c

a

=

2

2

．
故答案為：

2

2

．

點評：本題考查直線的方程，考查直線的垂直，考查橢圓的方程與橢圓的性質的綜合應用，求得P點的坐標是關鍵，也是難點，考查抽象思維與推理運算能力，屬于難題．