Question

已知三個命題：①關于x的方程x²+mx+2m=0無實數根；②關于x的不等式|x+2|+|x-3|＞m對于任意的x∈R恒成立；③函數f(x)=

x2+m2

x

在[-2，0）上單調遞減．如果上述三個命題中兩真一假，那么實數m的取值范圍是（　　）

A．（-2，0）∪（2，8）

B．（-2，0]∪（5，8）∪[9，+∞）

C．（-∞，-2）∪（5，8）

D．（-∞，-2]∪（0，2）∪[5，8）

Answer 1

分析：分別求三個命題為真時的m的范圍，由三個命題中兩真一假，分三類情況來分析都可得到m的范圍，然后取并集即可得到答案．

解答：解：①關于x的方程x²+mx+2m=0無實數根，則△=m²-8m＜0，解得0＜m＜8；
②關于x的不等式|x+2|+|x-3|＞m對于任意的x∈R恒成立，則m＜（|x+2|+|x-3|）_min=5；
③函數f(x)=

x2+m2

x

在[-2，0）上單調遞減，則f′（x）=1-

m2

x2

≤0在x∈[-2，0）上恒成立，
即m²≥x²在x∈[-2，0）上恒成立，只需m²≥（x²）_max=4，故m≤-2，或m≥2．
上述三個命題中兩真一假，則（0，8）∩（-∞，5）∩（-2，2）=（0，2），
或（0，8）∩[5，+∞）∩[（-∞，-2]∪[2，+∞）]=[5，8），
或[（-∞，0]∪[8，+∞）]∩（-∞，5）∩[（-∞，-2]∪[2，+∞）]=（-∞，-2]．
故m的取值范圍為：（-∞，-2]∪（0，2）∪[5，8）．
故選D．

點評：本題為求實數的取值范圍，涉及函數的單調性，恒成立問題以及一元二次方程根的情況，屬基礎題．