Question

已知函數f（x）=kx--2lnx，其中k∈R；
（1）若函數f（x）在其定義域內為單調遞增函數，求實數k的取值范圍．
（2）若函數g（x）=，且k＞0，若在[1，e]上至少存在一個x的值使f（x）＞g（x）成立，求實數k的取值范圍．

Answer 1

【答案】分析：（1）因為f（x）在其定義域內的單調遞增函數，所以f'（x）在（0，+∞）內滿足f'（x）≥0恒成立，轉化為求kx²-2x+k≥0對x∈（0，+∞）恒成立，然后利用分離參數法，轉化為求函數的最值，即可求得實數k的取值范圍．
（2）在[1，e]上至少存在一個x的值使f（x）＞g（x）成立，等價于不等式f（x）-g（x）＞0在[1，e]上有解，只需f（x）-g（x）的最大值大于0即可．
解答：解：（1），
因為f（x）在其定義域內的單調遞增函數，
所以f'（x）在（0，+∞）內滿足f'（x）≥0恒成立，
即kx²-2x+k≥0對x∈（0，+∞）恒成立，
亦即，∴即可
又，
當且僅當，即x=1時取等號，∴使函數f（x）在其定義域內為單調增函數的實數k的取值范圍是[1，+∞）．
（2）在[1，e]上至少存在一個x的值使f（x）＞g（x）成立，等價于不等式f（x）-g（x）＞0在[1，e]上有解，
設，，
∴F（x）為[1，e]上的增函數，F（x）_max=F（e），
依題意需∴實數k的取值范圍是．
點評：本題主要考查用導數法研究函數的單調性，函數最值的應用．基本思路是：當函數為增函數時，導數大于等于零；當函數為減函數時，導數小于等于零，已知單調性求參數的范圍往往轉化為求相應函數的最值問題，體現了轉化的數學思想，很好的考查了學生的計算能力．