Question

P為△ABC所在平面外一點(diǎn)，且PA、PB、PC兩兩垂直，則下列命題：
①PA⊥BC；
②PB⊥AC；
③PC⊥AB；
④AB⊥BC．
其中正確的個(gè)數(shù)是

 

．

Answer 1

分析：對(duì)于①②③可根據(jù)直線與平面垂直的判定定理進(jìn)行證明，對(duì)于④利用反例進(jìn)行證明，例如正方體的一個(gè)角，AB就不垂直于BC．從而得到結(jié)論．

解答：解：如圖所示，∵PA⊥PC、PA⊥PB，PC∩PB=P，
根據(jù)直線與平面垂直的判定定理，
∴PA⊥平面PBC，
又∵BC?平面PBC，∴PA⊥BC．
同理PB⊥AC、PC⊥AB，
但AB不一定垂直于BC，如正方體的一個(gè)角，其中∠ABC=60°．如圖．

故答案為：3．

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查了直線與平面垂直的判定，以及直線與平面垂直的性質(zhì)，考查化歸與轉(zhuǎn)化的數(shù)學(xué)思想方法，以及空間想象能力、推理論證能力，屬于基礎(chǔ)題．