Question

（本小題滿分13分）
設M是由滿足下列條件的函數構成的集合：“①方程有實數根；②函數的導數滿足”.
(1)判斷函數是否是集合M中的元素，并說明理由；
(2)若集合M中的元素具有下面的性質：“若的定義域為D，則對于任意，都存在，使得等式成立”，試用這一性質證明：方程只有一個實數根；
(3)設是方程的實數根，求證：對于定義域中的任意的，當且時，．

Answer 1

解：(1)易證函數滿足條件①②，因此.……………4分
(2)假設存在兩個實根，則，,
不妨設，由題知存在實數，使得成立.
∵，且，∴與已知矛盾，
所以方程只有一個實數根；……………8分
(3) 不妨設，∵，∴為增函數，∴，
又∵,∴函數為減函數，∴，
∴，即，
∴

解析