Question

（本小題滿分14分）已知一個數列的各項都是1或2．首項為1，且在第個1和第個1之間有個2，即1，2，1，2，2，2，1，2，2，2，2，2，1，…．記數列的前項的和為．參考：31×32=992，32×33＝1056，44×45=1980，45×46=2070
（I）試問第10個1為該數列的第幾項？
（II）求和；
（III）是否存在正整數，使得？如果存在,求出的值；如果不存在,請說明理由．

Answer 1

（I）91（項）；（II） ；
（III）存在=993+29=1022，使．

試題分析：（1）根據題意將第個1與第個1前的2記為第對，那么結合已知條件得到前對共有項數為
（2）因44×45=1980，45×46=2070，2012-1980=32，
故第2012項在第45對中的第32個數。
（3）由于前k對所在全部項的和為，可知結論。
解：將第個1與第個1前的2記為第對，
即為第1對，共項；
為第2對，共項；……；
為第對，共項；
故前對共有項數為．        
（I）第10個1所在的項之前共有9對，所以10個1為該數列的
9×(9+1)+1=91（項）                              …………3分
（II）因44×45=1980，45×46=2070，2012-1980=32，
故第2012項在第45對中的第32個數，從而
　　又前2012項中共有45個1，其余2012－45＝1967個數均為2，
于是   ……………………7分
（III）前k對所在全部項的和為，易得，
，，
即且自第994項到第1056項均為2，而2012-1954=58能被2整除，
故存在=993+29=1022，使．     ……………………14分
點評：解決該試題的關鍵是先將數列分組，便于發現規律，如分為（1，2），（1，2，2，2），（1，2，2，2，2,2）…，每組的項數構成數列2，4，6，…，發現將第個1與第個1前的2記為第對，則前對共有項數為最后數列分組求和即可。