Question

【題目】已知函數.

（1）當時，求證：；

（2）討論函數零點的個數.

Answer 1

【答案】（1）見證明；（2）見解析

【解析】

(1),對函數求導，研究函數的單調性，求函數最小值，證得函數的最小值大于0；（2）對函數求導，研究函數的單調性，得到函數的最值和極值，進而得到參數的范圍.

證明：當時，.

令則

當時，；當時，，時，

所以在上單調遞減，在單調遞增，

所以是的極小值點，也是最小值點，

即

故當時，成立，

，由得.

當時，；當時，，

所以在上單調減，在單調增，

所以是函數得極小值點，也是最小值點，

即

當，即時，沒有零點，

當，即時，只有一個零點，

當，即時，因為所以在上只有一個零點；

由，得，令，則得，所以，于是在在上有一個零點；

因此，當時，有兩個零點.

綜上，時，沒有零點；

時，只有一個零點；

時，有兩個零點.