Question

給出下列命題：
①若f（x）=2x³+3的反函數為f^-1（x），則f^-1（5）=1；
②過原點作圓x²+y²-12x+9=0的兩切線，則兩切線所夾的劣弧長為2

3

π；
③在△ABC中，已知a=5，b=6，A=30°，則B有一解且B=arcsin

3

5

；
④在樣本頻率分布直方圖中，共有三個長方形，其面積由小到大構成等差數列{a_n}，且a₂+a₃=0.8，則最大的長方形的面積為

7

15

其中正確命題的序號為

①④

．

Answer 1

分析：根據原函數與反函數之間的關系得到①正確，根據弧長的運算得到②不正確，根據三角形解的個數的判斷得到③不正確，根據頻率分布直方圖得到④正確．

解答：解：若f（x）=2x³+3的反函數為f^-1（x），則f^-1（5）=1；把1代入原函數得到函數值時5，故①正確，
過原點作圓x²+y²-12x+9=0的兩切線，
過圓心做切線的垂線，根據組成的直角三角形三邊之間的關系，得到兩條切線所夾的角是60°，
根據原定周長乘以

1

6

，弧長是

1

6

×2×π×3

3

=

3

π，故②不正確，
則兩切線所夾的劣弧長為2

3

π；
在△ABC中，已知a=5，b=6，A=30°，
∵6＞5＞6×sin30°
則B有兩解，故③不正確，
在樣本頻率分布直方圖中，共有三個長方形，其面積由小到大構成等差數列{a_n}，
且a₂+a₃=0.8，a₁=0.2，d=

4

30

，則最大的長方形的面積為0.2+

8

30

=

7

15

，故④正確，
綜上可知①④正確，
故答案為：①④

點評：本題考查的知識點比較多，特別注意對于解三角形的考查和對于弧長的考查，本題解題的關鍵是對于所給的四個命題逐一的判斷，本題是一個中檔題目．