Question

△ABC的內角A、B、C的對邊分別為a、b、c．已知A-C=

π

2

，a+c=

2

b，求C．

Answer 1

分析：由A-C等于

π

2

得到A為鈍角，根據誘導公式可知sinA與cosC相等，然后利用正弦定理把a+c=

2

b化簡后，把sinA換為cosC，利用特殊角的三角函數值和兩角和的正弦函數公式把左邊變為一個角的正弦函數，給方程的兩邊都除以

2

后，根據C和B的范圍，得到C+

π

4

=B或C+

π

4

+B=π，根據A為鈍角，所以C+

π

4

+B=π不成立舍去，然后根據三角形的內角和為π，列出關于C的方程，求出方程的解即可得到C的度數．

解答：解：由A-C=

π

2

，得到A為鈍角且sinA=cosC，
利用正弦定理，a+c=

2

b可變為：sinA+sinC=

2

sinB，
即有sinA+sinC=cosC+sinC=

2

sin（C+

π

4

）=

2

sinB，
又A，B，C是△ABC的內角，
故C+

π

4

=B或C+

π

4

+B=π（舍去），
所以A+B+C=（C+

π

2

）+（C+

π

4

）+C=π，
解得C=

π

12

．

點評：此題考查學生靈活運用誘導公式、特殊角的三角函數值以及兩角和的正弦函數公式化簡求值，是一道中檔題．學生做題時應注意三角形的內角和定理及角度范圍的運用．