Question

設動點P到兩定點F₁(－l，0)和F₂(1，0)的距離分別為d₁和d₂，∠F₁PF₂＝2θ，且存在常數λ(0＜λ＜1)，使得d₁d₂sin²θ＝λ．

(1)證明：動點P的軌跡C為雙曲線，并求出C的方程；

(2)如圖，過點F₂的直線與雙曲線C的右支交于A、B兩點．問：是否存在λ，使△F₁AB是以點B為直角定點的等腰直角三角形？若存在，求出λ的值；若不存在，說明理由．

Answer 1

答案：
解析：

解：（1）在中， 　　 　　 　　（小于的常數） 　　故動點的軌跡是以，為焦點，實軸長的雙曲線． 　　方程為; 　　（2）方法一：在中，設，，，． 　　假設為等腰直角三角形，則 　　 　　由②與③得， 　　則 　　由⑤得， 　　 　　， 　　 　　故存在滿足題設條件． 　　方法二：（1）設為等腰直角三角形，依題設可得 　　 　　所以，． 　　則．① 　　由，可設， 　　則，． 　　則．② 　　由①②得．③ 　　根據雙曲線定義可得，． 　　平方得：．④ 　　由③④消去可解得， 　　故存在滿足題設條件．