Question

【題目】已知數列的前n項和為，滿足()；數列為等差數列．且，．

（1）求數列和的通項公式；

（2）若為數列的前n項和，求滿足不等式的n的最大值．

Answer 1

【答案】（1）， （2）9

【解析】

（1）根據等式，令，可求出，再當≥時，由可得，再結合可確定數列的通項公式，即可得和的值，進而得到和的值，因為數列為等差數列，可求出公差d，然后得出數列通項公式；（2）先根據數列的通項公式求出，再表示出，然后用裂項相消法求出數列的前n項和，最后判斷滿足不等式的n的最大值．

解：（1）因為，所以當時，，解得．

當≥時，，化簡得．

又，所以，因此，

所以是首項為公比為2的等比數列，即；

又，，即，，所以，，

因為數列為等差數列，所以公差，故；

（2）由（1）知是首項為公比為2的等比數列，所以，

所以

，

故

．

若，即，即，

可得，所以，

綜上，使得的最大的的值為9．