Question

如圖，四棱錐P-ABCD中，PD⊥平面ABCD，底面ABCD為矩形，PD=DC=4，AD=2，E為PC的中點．
（I）求證：AD⊥PC；
（II）求三棱錐P-ADE的體積；
（III）在線段AC上是否存在一點M，使得PA∥平面EDM，若存在，求出AM的長；若不存在，請說明理由．

Answer 1

分析：（I）根據線面垂直證明線線垂直即可；
（II）利用三棱錐的換底性，求得棱錐的高與底面面積，再利用體積公式計算即可；
（III）假設存在，根據線面平行的條件，判斷M點的位置，再求AM的長即可．

解答：解：（I）證明：∵PD⊥平面ABCD．∴PD⊥AD．
又因為ABCD是矩形，∴AD⊥CD．
又∵PD∩CD=D，∴AD⊥平面PCD．
又∵PC?平面PCD，
∴AD⊥PC．
（II）∵AD⊥平面PCD，V_P-ADE=V_A-PDE，
∴AD是三棱錐A-PDE的高．
∵E為PC的中點，且PD=DC=4，
∴S_△PDE=

1

2

S_△PDC=

1

2

×

1

2

×4×4=4，
∴V_P-ADE=V_A-PDE=

1

3

×4×2=

8

3

．
（III）取AC中點M，連結EM、DM，
∵E為PC的中點，M是AC的中點，
∴EM∥PA，
又因為EM?平面EDM，PA?平面EDM，
∴PA∥平面EDM．
AM=

1

2

AC=

5

即在AC邊上存在一點M，使得PA∥平面EDM，AM的長為

5

．

點評：本題考查直線與平面垂直的判定、棱錐的體積計算及線面平行的判定．