Question

已知|

p

|=2

2

，|

q

|=3，

p

與

q

的夾角為

π

4

，則以  

a

=5

p

+2

q

，

b

=

p

-3

q

為鄰邊的平行四邊形的長度較小的對角線的長是（　　）

• A．15
• B．

  15

• C．4
• D．

  14

Answer 1

分析：以

a

、

b

為鄰邊作平行四邊形，則此平行四邊形的兩條對角線分別為

a

+

b

，

a

-

b

，分別求出他們的模，然后進行比較，即可得到結論．

解答：解：以

a

、

b

 為鄰邊的平行四邊行的兩對角線之長可分別記為|

a

+

b

|，|

a

-

b

|，
∵|

p

|=2

2

，|

q

|=3，

p

與

q

的夾角為

π

4

，則以  

a

=5

p

+2

q

，

b

=

p

-3

q

，
∴

a

+

b

=6

p

-

q

，
|

a

+

b

|=

(6 p - q )2

=

36 p 2-12 p • q + q 2

=

36×8-12×2 2 ×3×cos π 4 +9

=15．

a

-

b

=4

p

+5

q

，
|

a

-

b

|=

(4 p +5 q )2

=

16 p 2+40 p • q +25 q 2

=

16×8+40×2 2 ×3×cos π 4 +25×9

=

593

，
∵15＜

593

，
∴長度較小的對角線的長是15．
故選A．

點評：本題考查向量的運算法則：平行四邊形法則、向量的數量積的定義式以及向量的模計算公式．體現了數形結合的思想，同時也考查了學生應用知識分析解決問題的能力，此題是個中檔題．