Question

本題設有（1）（2）（3）三個選考題，每題7分，請考生任選2題作答，滿分14分．如果多做，則按所做的前兩題計分．作答時，先用2B鉛筆在答題卡上把所選題目對應的題號涂黑，并將所選題號填入括號中．
（1）已知矩陣M=

1 a b 1

，N=

c 2 0 d

，且MN=

2 0 -2 0

，
（Ⅰ）求實數a，b，c，d的值；（Ⅱ）求直線y=3x在矩陣M所對應的線性變換下的像的方程．
（2）在直角坐標系xoy中，直線l的參數方程為

x=3- 2 2 t y= 5 - 2 2 t

（t為參數）．在極坐標系（與直角坐標系xoy取相同的長度單位，且以原點O為極點，以x軸正半軸為極軸）中，圓C的方程為ρ=2

5

sinθ．
（Ⅰ）求圓C的直角坐標方程；（Ⅱ）設圓C與直線l交于點A、B，若點P的坐標為(3，

5

)，
求|PA|+|PB|．
（3）已知函數f（x）=|x-a|．
（Ⅰ）若不等式f（x）≤3的解集為{x|-1≤x≤5}，求實數a的值；
（Ⅱ）在（Ⅰ）的條件下，若f（x）+f（x+5）≥m對一切實數x恒成立，求實數m的取值范圍．

Answer 1

（1）選修1：（Ⅰ）由題設得

c+0=2 2+ad=0 bc+0=-2 2b+d=0

，解得

a=-1 b=-1 c=2 d=2

；
（Ⅱ）因為矩陣M所對應的線性變換將直線變成直線（或點），所以可取直線y=3x上的兩（0，0），（1，3），
由

1 -1 -1 1

0 0

=

0 0

，

1 -1 -1 1

1 3

=

-2 2

，
得點（0，0），（1，3）在矩陣M所對應的變換下的線的像是（0，0），（-2，2），
從而直線y=3x在矩陣M所對應的線性變換下的像的方程為y=-x．
（2）選修2：（Ⅰ）由ρ=2

5

sinθ得x²+y²-2

5

y=0，即x2+(y-

5

)2=5．
（Ⅱ）將l的參數方程代入圓C的直角坐標方程，得(3-

2

2

t)2+(

2

2

t)2=5，
即t²-3

2

t+4=0，
由于△=(3

2

)2-4×4=2＞0，
故可設t₁，t₂是上述方程的兩實根，
所以

t1+t2=3 2 t1t2=4

，
又直線l過點P（3，

5

），
故由上式及t的幾何意義得：
|PA|+|PB|=|t₁|+|t₂|=t₁+t₂=3

2

．
（3）選修3：（Ⅰ）由f（x）≤3得|x-a|≤3，解得a-3≤x≤a+3，
又已知不等式f（x）≤3的解集為{x|-1≤x≤5}，
所以

a-3=-1 a+3=5

，解得a=2．
（Ⅱ）當a=2時，f（x）=|x-2|，
設g（x）=f（x）+f（x+5），
于是g（x）=|x-2|+|x+3|=

-2x-1，x＜-3 5，-3≤x≤2 2x+1，x＞2

，
所以，當x＜-3時，g（x）＞5；
當-3≤x≤2時，g（x）＞5；
當x＞2時，g（x）＞5．