Question

已知正方體ABCD-A₁B₁C₁D₁中，點E，F分別是棱AB，AA₁的中點，求證：三條直線DA，CE，D₁F交于一點．

Answer 1

分析：欲證：三條直線DA，CE，D₁F交于一點，先將其中一條直線看成是兩個平面的交線，再證明另外兩條直線的交點是這兩個平面的公共點，由平面的基本性質，從而證得三條直線交于一點．

解答：證明：連接EF、CD₁、BA₁，在正方體ABCD-A₁B₁C₁D₁中，
點E，F分別是棱AB，AA₁的中點，∴EF∥BA₁，EF=

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BA1，
又A₁D₁∥B₁C₁，A₁D₁=B₁C₁∴四邊形A₁BCD₁為平行四邊形，∴BA₁∥CD₁BA₁=CD₁
∴EF∥CD₁，EF=

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CD1∴四邊形是梯形，
∴D₁F與CE的延長線交于一個點，設為O點，
則有O∈D₁F，D₁F?平面AD₁，
∴O∈平面AD₁，同理O∈平面AC，且平面AD₁∩平面AC=AD
∴O∈AD，∴三條直線DA，CE，D₁F交于一點．

點評：本小題主要考查平面的基本性質及推論、確定平面的條件、共點的證明方法、棱柱的結構特征等基礎知識，考查空間想象力、化歸與轉化思想．屬于基礎題．