Question

把函數y=lnx-2的圖象按向量

α

=（-1，2）平移得到函數y=f（x）的圖象．
（1）若x＞0，證明；f（x）＞

2x

x+2

；
（2不等式

1

2

x²≤f（x²）+m²-2bm-3對b∈[-1，1]，x∈[-1，1]時恒成立，求實數m的取值范圍．

Answer 1

分析：（1）先根據向量的平移，求得f（x）=ln（x+1），再構建函數F(x)=f(x)-

2x

x+2

=ln(x+1)-

2x

x+2

，確定函數的單調性，從而可證不等式；
（2）不等式

1

2

x²≤f（x²）+m²-2bm-3對b∈[-1，1]，x∈[-1，1]時恒成立，等價于

x2

2

-ln(x2+1)≤m2-2bm-3，對b∈[-1，1]，x∈[-1，1]時恒成立，求出左邊函數的最大值，進一步可化為對b∈[-1，1]時，0≤m²-2bm-3恒成立，即使2mb+3-m²≤0恒成立，從而可求實數m的取值范圍．

解答：（1）證明：∵函數y=lnx-2的圖象按向量

α

=（-1，2）平移得到函數y=f（x）的圖象
∴f（x）=ln（x+1），
構建函數F(x)=f(x)-

2x

x+2

=ln(x+1)-

2x

x+2

，
求導函數得F′(x)=

1

x+1

-

4

(x+2)2

=

(x+2)2-4(x+1)

(x+1)(x+2)2

=

x2

(x+1)(x+2)2

∵x＞0，∴F′（x）＞0，
∴在（0，+∞）上，F（x）為增函數．
∴F（x）＞F（0）=0，
∴f(x)-

2x

x+2

＞0
∴f(x)＞

2x

x+2

；
（2）解：∵不等式

1

2

x²≤f（x²）+m²-2bm-3對b∈[-1，1]，x∈[-1，1]時恒成立
∴

x2

2

-ln(x2+1)≤m2-2bm-3，對b∈[-1，1]，x∈[-1，1]時恒成立
設g（x）=

x2

2

-ln(x2+1），
則g′（x）=x-

2x

x2+1

=

x3-x

x2+1

=

x(x+1)(x-1)

x2+1

，
x∈（-1，0）時，g′（x）＞0，x∈（0，1）時，g′（x）＜0．
∴x∈（-1，1）時，g（x）≤g（0）=0．
∴x∈（-1，1）時，0≤m²-2bm-3，
∴問題可化為對b∈[-1，1]時，0≤m²-2bm-3恒成立，即使2mb+3-m²≤0恒成立．
∴

m≥0 2m+3-m2≤0

或

m≤0 -2m+3-m2≤0

，
∴m≤-3或m≥3
綜上，實數m的取值范圍是（-∞，-3]∪[3，+∞）．

點評：本題重點考查導數知識的運用，考查利用導數確定函數的單調性，進而證明不等式，考查恒成立問題的理解與處理，綜合性強．