Question

已知函數(x>0)在x = 1處取得極值，其中a,b,c為常數。（1）試確定a,b的值；    （2）討論函數f(x)的單調區(qū)間；

（3）若對任意x>0，不等式恒成立，求c的取值范圍。

Answer 1

（1） ．（2）的單調遞減區(qū)間為，而的單調遞增區(qū)間為；（3）的取值范圍為．

解析:

（I）由題意知，因此，從而．

又對求導得．

由題意，因此，解得．

（II）由（I）知（），令，解得．

當時，，此時為減函數；

當時，，此時為增函數．

因此的單調遞減區(qū)間為，而的單調遞增區(qū)間為．

（III）由（II）知，在處取得極小值，此極小值也是最小值，要使（）恒成立，只需．即，

從而，   解得或．

所以的取值范圍為．