Question

已知點F是橢圓

x2

1+a2

+y2=1(a＞0)右焦點，點M（m，0）、N（0，n）分別是x軸、y軸上的動點，且滿足

MN

•

NF

=0，若點P滿足

OM

=2

ON

+

PO

．
（1）求P點的軌跡C的方程；
（2）設過點F任作一直線與點P的軌跡C交于A、B兩點，直線OA、OB與直線x=-a分別交于點S、T（其中O為坐標原點），試判斷

FS

•

FT

是否為定值？若是，求出這個定值；若不是，請說明理由．

Answer 1

分析：（1）設點P（x，y），由題意可知，點F的坐標為（a，0），

MN

•

NF

=-am-n2=0，由

OM

=2

ON

+

PO

得

x=-m y=2n

，消去n與m可得y²=4ax．
（2）設過F點的直線l方程為：y=k（x-a），與軌跡C交于A（x₁，y₁）、B（x₂，y₂）兩點，得：k²x²-（2ka+4a）x+k²a²=0，則x₁x₂=a²，y₁y₂=-4a²．得直線OA的方程為：y=

y1

x1

x，所以點S為(-a，-

y1

x1

a)；同理得點T為(-a，-

y2

x2

a)；表示出

FS

•

FT

即可得到答案．

解答：解：（1）設點P（x，y），由題意可知，點F的坐標為（a，0），
則

MN

=(-m，n)，

NF

=(a，-n)，

MN

•

NF

=-am-n2=0①，
由

OM

=2

ON

+

PO

得：（x，y）=（-m，2n），即

x=-m y=2n

②，
將②式代入①式得：y²=4ax
（2）設過F點的直線l方程為：y=k（x-a），與軌跡C交于A（x₁，y₁）、B（x₂，y₂）兩點，
聯立

y2=4ax y=k(x-a)

得：k²x²-（2ka+4a）x+k²a²=0，
則x₁x₂=a²，y1y2=-

16a2•x1x2

=-4a2．
由于直線OA的方程為：y=

y1

x1

x，則點S的坐標為(-a，-

y1

x1

a)；
同理可得點T的坐標為(-a，-

y2

x2

a)；
故

FS

=(-2a，-

y1

x1

a)，

FT

=(-2a，-

y2

x2

a)，
則

FS

•

FT

=4a2+

y1y2

x1x2

a2=0．

點評：解決此類題目的關鍵是熟練掌握求軌跡方程的方法（消參法），以及設點利用點表示有關的向量的表達式即可，此題對計算能力要求較高．